Teorema Wilson
Jika p adalah bilangan prima maka
******************************************************
contoh soal:
Berapakah sisa
jika dibagi
?
jawab:
dengan teorema wilson didapat
INEQUALITY
AM-GM-HM
AM (Aritmatik Mean) yaitu rataan aritmatik.
Bentuk:
GM (Geometric Mean) yaitu rataan geometri.
Bentuk:
HM (Harmonik Mean) yaitu rataan harmonik.
Bentuk:
Untuk semua
bilangan real positif selalu berlaku
Contoh:
CAUCHY_SCHWARZ
CAUCHY_SWARCHZ BENTUK ENGEL
dimana
atau jika dijabarkan menjadi
KETAKSAMAAN HOLDER
Misalkan
adalah bilangan real tidak negatif dan
. Maka
KETAKSAMAAN NESBITT
untuk
real positif berlaku
Chinese Remainder Theorem
Diberikan sistem kongruensi sebagai berikut.
haruslah saling relatif prima
Dengan demikian, kita dapat mencari nilai
dengan rumus berikut.
dimana
untuk setiap
.
dan
adalah invers dari
modulo
untuk setiap
.
———————————————————————————————————-
contoh:
Suatu bilangan bulat positif akan bersisa 1 jika dibagi 3, bersisa 2
jika dibagi 5, dan bersisa 3 jika dibagi 7. Tentukan bilangan bulat
terkecil yang memenuhi kondisi tersebut.
Karena 3,5, dan 7 relatif prima, maka rumus CRT (Chinese Remainder Theorem) dapat langsung digunakan.
Kita dapatkan
,
,
, dan
. Untuk menentukan
, kita selesaikan
, menjadi
, maka
. Untuk menentukan
, kita selesaikan
, maka
. Untuk menentukan
, kita selesaikan
, maka
Tinggal memasukkan semua elemen yang ada ke dalam rumus
Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 52.
Fermat’s Little Theorem
Fermat’s Little Theorem
Jika
adalah bilangan prima dan
adalah integer positif dimana
,maka
—————————————————————————————————————————–
Fermat’s Little Theorem (bentuk lain)
Jika
adalah bilangan prima dan
adalah integer positif, maka
Note: perhatikan bahwa
bukanlah syarat wajib.
——————————————————————————————————————————–
contoh:
Tentukan sisa pembagian jika
dibagi 73.
Jawab:
73 adalah bilangan prima, maka dari Fermat’s Little Theorem kita tahu bahwa
.
Maka, kita kelompokkan berdasarkan 72.
.
Selanjutnya, kita gunakan cara biasa.
___________
___________
___________
___________
___________
___________
.
Jadi, sisa pembagiannya adalah 32.
Euler Phi Function
Euler Phi-Function digunakan dalam teorema Euler. Meskipun namanya
menggunakan kata phi namun fungsi ini sama sekali tidak menggunakan nila
. Penggunaan phi semata-mata untuk “fungsi”
Euler phi function adalah fungsi yang menghitung banyaknya bilangan bulat yang koprima dengan
contoh
Karena dari sepuluh bilangan kurang dari atau sama dengan 10: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
terdapat 4 bilangan yang koprima dengan 10 yaitu 1,3,7,9
Berikut adalah teorema-teorema yang perlu diperhatikan dalam Euler Phi-Function:
Teorema Pertama
Untuk n bilangan prima, selalu berlaku
Contoh:
******
Teorema Kedua
Untuk
bilangan prima dan
bilangan bulat positif, selalu berlaku
atau ekuivalen dengan
contoh
*******
Teorema Ketiga
Phi function adalah fungsi multiplikatif.
Untuk m dan n saling relatif prima (koprima), maka
contoh
******
Kalau repot dengan seluruh rumus diatas, pakai saja konsep di bawah
merupakan faktorisasi prima dari bilangan bulat n, maka
contoh
*******
Ingat bahwa selalu bernilai genap untuk
Teorema Euler
Fermat’s Little Theorem (FLT) akan
sangat bermanfaat jika bilangannya adalah bilangan prima. Masalahnya,
bagaimana kalau bilangannya komposit?
Leonhard Euler berhasil membuktikan FLT
pada tahun 1736. Kemudian, 24 tahun kemudian, FLT digeneralisasi oleh
Generalisasi inilah yang disebut sebagai Teorema Euler.
Teorema Euler
Untuk adalah integer positif dan adalah integer dimana , maka
Jika, m adalah bilangan prima, maka rumus di atas akan identik dengan FLT
CONTOH
Berapakah sisa pembagian jika dibagi 35
Solusi:
Berdasarkan teorema euler
Maka pangkatnya kita kelompokan berdasarkan 24
Dengan begitu dapat dengan mudah diselesaikan. Hingga akhirnya didapat
jadi, sisanya adalah 11
Bukti Teorema Ceva
Jika D,E,F berturut-turut merupakan titik-titik pada garis BC,CA,AB pada
, maka:
Garis BE,AD,FC berpotongan di satu titik jika dan hanya jika
Untuk membuktikan teorema di atas maka akan kita bagi menjadi dua kasus:
1. Jika BE,AD,FC berpotongan di satu titik maka
Sifat segitiga: Perbandingan luas segitiga yang tingginya sama, sama dengan perbandingan panjang alas-alasnya.
Berdasarkan sifat di atas didapatkan:
(ket: AFC maksudnya adalah luas
)
Dengan cara serupa didapatkan:
Jadi, diperoleh
Terbukti
2. Jika
maka BE,AD,FC kongruen.
Untuk membuktikannya, sebenarnya cukup
sederhana. Misalkan BE dan AD berpotongan di O dan perpanjangan CO
memotong AB di G. Maka menurut torema ceva (no.1), didapatkan
Sebelumnya juga telah diketahui bahwa
, maka jelas bahwa F dan G berimpit. Jelas terbukti bahwa ketiga garis tadi berpotongan di satu titik.
Contoh soal:
(contoh ini sama sekali tidak menggunakan teorema ceva itu sendiri.
Namun konsep yang digunakan adalah konsep yang terdapat dalam pembuktian
dari teorema ceva. Ingat bahwa, bukti dari suatu rumus lebih berari
dari rumus itu sendiri)
D, E, dan F adalah titik-titik pada sisi BC, CA, AB dari segitiga ABC
dan AD, BE, dan CF kongruen terhadap titik O. Buktikan bahwa
Solusi:
Penampakan soal tersebut kurang lebih seperti ini:
Berdasarkan sifat segitiga yang tercantum jauh di atas, didapat:
Dengan proses serupa didapatkan pula
dan
Dari ketiga persamaan tersebut, maka
bahwa
[OSP 2010] Diketahui segitiga
dengan panjang sisi-sisinya adalah
. Jika
, tentukan besar sudut yang mengahap sisi
.
Solusi:
. Dengan rumus kosinus,
, maka
Kembali ke soal maka
, sehingga
Bagi kedua ruas dengan
. didapat
.Jadi besar sudut C adalah
Koefisien Ekspansi
Berapakah koefisien
pada ekspansi
Solusi:
.
.
.
Jadi, koefisien
adalah -1005