Teorema Wilson

Jika p adalah bilangan prima maka $(p-1)!\equiv-1 \mod p$

******************************************************

contoh soal:

Berapakah sisa $1.1!+2.2!+3.3!+...+2009.2009!$ jika dibagi $2011$ ?

jawab:

$1.1!+2.2!+3.3!+...+2009.2009!=(2-1).1!+(3-1).2!+(4-1).3!+...+(2010-1).2009!$

$=2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+2010!-2009!=2010!-1$

dengan teorema wilson didapat $2010!-1\equiv-1\equiv2010\mod2011$

INEQUALITY

AM-GM-HM
AM (Aritmatik Mean) yaitu rataan aritmatik.
Bentuk: $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$
GM (Geometric Mean) yaitu rataan geometri.
Bentuk: $\sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times... \times a_n}$
HM (Harmonik Mean) yaitu rataan harmonik.
Bentuk: $\frac{n}{\frac{1}{a_1}+ \frac{1}{a_2}+...+ \frac{1}{a_n}}$
Untuk semua $a_i$ bilangan real positif selalu berlaku

$AM \ge GM \ge HM$

Contoh:
$\frac{1+2+3+4}{4} \ge \sqrt[4]{1 \times 2 \times 3 \times 4} \ge \frac{4}{\frac{1}{1}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{5}}$

CAUCHY_SCHWARZ

$\left ( \sum \limits_{k=1}^n a_kb_k \right )^2\le \left ( \sum \limits_{k=1}^n {a_k}^2 \right ) \left ( \sum \limits_{k=1}^n {b_k}^2 \right )$

CAUCHY_SWARCHZ BENTUK ENGEL

$\sum \frac{{a_k}^2}{b_k} \ge \frac{(\sum a_k)^2}{\sum b_k}$
dimana $b_1,b_2,...,b_n > 0$

atau jika dijabarkan menjadi

$\frac{{a_1}^2}{b_1}+\frac{{a_2}^2}{b_2}+...+\frac{{a_n}^2}{b_n} \ge \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$

KETAKSAMAAN HOLDER
Misalkan $a_1,...,a_n;b_1,...,b_n$ adalah bilangan real tidak negatif dan $p,q >1$ . Maka
$\left ( \sum \limits_{k=1}^n a_kb_k \right )\le \left ( \sum \limits_{k=1}^n {a_k}^p \right )^{\frac{1}{p}} \left ( \sum \limits_{k=1}^n {b_k}^q \right )^{\frac{1}{q}}$

KETAKSAMAAN NESBITT

untuk $a,b,c$ real positif berlaku

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

Chinese Remainder Theorem

Diberikan sistem kongruensi sebagai berikut.

haruslah saling relatif prima
Dengan demikian, kita dapat mencari nilai

dengan rumus berikut.

dimana

untuk setiap

.
dan

adalah invers dari

modulo

untuk setiap

.
———————————————————————————————————-
contoh:
Suatu bilangan bulat positif akan bersisa 1 jika dibagi 3, bersisa 2 jika dibagi 5, dan bersisa 3 jika dibagi 7. Tentukan bilangan bulat terkecil yang memenuhi kondisi tersebut.

Karena 3,5, dan 7 relatif prima, maka rumus CRT (Chinese Remainder Theorem) dapat langsung digunakan.

Kita dapatkan

, dan

. Untuk menentukan

, kita selesaikan

, menjadi

, maka

. Untuk menentukan

, kita selesaikan

, maka

. Untuk menentukan

, kita selesaikan

, maka

Tinggal memasukkan semua elemen yang ada ke dalam rumus

Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 52.

Fermat’s Little Theorem

Fermat’s Little Theorem
Jika

adalah bilangan prima dan

adalah integer positif dimana

,maka

—————————————————————————————————————————–
Fermat’s Little Theorem (bentuk lain)
Jika

adalah bilangan prima dan

adalah integer positif, maka

Note: perhatikan bahwa

bukanlah syarat wajib.
——————————————————————————————————————————–
contoh:
Tentukan sisa pembagian jika

dibagi 73.
Jawab:
73 adalah bilangan prima, maka dari Fermat’s Little Theorem kita tahu bahwa

.
Maka, kita kelompokkan berdasarkan 72.

.
Selanjutnya, kita gunakan cara biasa.

___________

.
Jadi, sisa pembagiannya adalah 32.

Euler Phi Function

Euler Phi-Function digunakan dalam teorema Euler. Meskipun namanya menggunakan kata phi namun fungsi ini sama sekali tidak menggunakan nila $\phi=1,618....$ . Penggunaan phi semata-mata untuk “fungsi”

Euler phi function $\phi (n)$ adalah fungsi yang menghitung banyaknya bilangan bulat $\le x$ yang koprima dengan $x$

contoh
$\phi(10)=4$
Karena dari sepuluh bilangan kurang dari atau sama dengan 10: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
terdapat 4 bilangan yang koprima dengan 10 yaitu 1,3,7,9
Pelajari Lebih Lanjut

Berikut adalah teorema-teorema yang perlu diperhatikan dalam Euler Phi-Function:

Teorema Pertama

Untuk n bilangan prima, selalu berlaku $\phi(n)=n-1$
Contoh: $\phi(23)=22$
******
Teorema Kedua
Untuk $n$ bilangan prima dan $a$ bilangan bulat positif, selalu berlaku
$\phi(n^a)=n^a-n^{a-1}$
atau ekuivalen dengan $\phi(n^a)=n^a(1-\frac{1}{n})$
contoh
$\phi(7^3)=343-49=281$
*******
Teorema Ketiga

Phi function adalah fungsi multiplikatif.

Untuk m dan n saling relatif prima (koprima), maka
$\phi(m \cdot n)= \phi(m) \cdot \phi(n)$
contoh
$\phi(100)=\phi(5^2\cdot4)=\phi(5^2)\cdot\phi(4)=(5^2-5)(2)=40$
******
Kalau repot dengan seluruh rumus diatas, pakai saja konsep di bawah
$n={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_k}^{a_k}$ merupakan faktorisasi prima dari bilangan bulat n, maka
$\phi(n)=n(1- \frac{1}{p_1})(1- \frac{1}{p_2})...(1- \frac{1}{p_k})$

contoh
$\phi(100)= \phi(2^2 \cdot5^2)=100\cdot(1- \frac{1}{2})(1- \frac{1}{5})=40$
*******
Ingat bahwa $\phi(n)$ selalu bernilai genap untuk $n>2$

Teorema Euler

Fermat’s Little Theorem (FLT) akan sangat bermanfaat jika bilangannya adalah bilangan prima. Masalahnya, bagaimana kalau bilangannya komposit?
Leonhard Euler berhasil membuktikan FLT pada tahun 1736. Kemudian, 24 tahun kemudian, FLT digeneralisasi oleh Generalisasi inilah yang disebut sebagai Teorema Euler.

Teorema Euler

Untuk $m$ adalah integer positif dan $a$ adalah integer dimana $\gcd(a,m)=1$ , maka
$a^{\phi(m)} \equiv 1 \mod m$

Jika, m adalah bilangan prima, maka rumus di atas akan identik dengan FLT

CONTOH
Berapakah sisa pembagian jika $3^{100000}$ dibagi 35
Solusi:
Berdasarkan teorema euler
$3^{24} \equiv 1 (\mod 35)$
Maka pangkatnya kita kelompokan berdasarkan 24
$3^{24 \cdot 4166+16} \equiv 3^{16} (\mod 35)$
Dengan begitu dapat dengan mudah diselesaikan. Hingga akhirnya didapat
$3^{100000} \equiv 11 (\mod 35)$

jadi, sisanya adalah 11

Bukti Teorema Ceva

5 Votes

Jika D,E,F berturut-turut merupakan titik-titik pada garis BC,CA,AB pada $\Delta ABC$ , maka:

Garis BE,AD,FC berpotongan di satu titik jika dan hanya jika

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} =1$

Untuk membuktikan teorema di atas maka akan kita bagi menjadi dua kasus:
1. Jika BE,AD,FC berpotongan di satu titik maka $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} =1$

Sifat segitiga: Perbandingan luas segitiga yang tingginya sama, sama dengan perbandingan panjang alas-alasnya.

Berdasarkan sifat di atas didapatkan:

$\frac{AF}{FB}= \frac{AFC}{BFC}=\frac{AFO}{BFO}=\frac{AFC-AFO}{BFC-BFO}= \frac{AOC}{BOC}$

(ket: AFC maksudnya adalah luas $\Delta AFC$ )

Dengan cara serupa didapatkan:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AOB}{AOC}$

$\frac{CE}{EA}=\frac{BOC}{AOB}$

Jadi, diperoleh $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}= \frac{AOC}{BOC} \cdot \frac{AOB}{AOC} \cdot \frac{BOC}{AOB} =1$

Terbukti

2. Jika $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} =1$ maka BE,AD,FC kongruen.

Untuk membuktikannya, sebenarnya cukup sederhana. Misalkan BE dan AD berpotongan di O dan perpanjangan CO memotong AB di G. Maka menurut torema ceva (no.1), didapatkan $\frac{AG}{GB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} =1$

Sebelumnya juga telah diketahui bahwa $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} =1$ , maka jelas bahwa F dan G berimpit. Jelas terbukti bahwa ketiga garis tadi berpotongan di satu titik.

Contoh soal:
(contoh ini sama sekali tidak menggunakan teorema ceva itu sendiri. Namun konsep yang digunakan adalah konsep yang terdapat dalam pembuktian dari teorema ceva. Ingat bahwa, bukti dari suatu rumus lebih berari dari rumus itu sendiri)
D, E, dan F adalah titik-titik pada sisi BC, CA, AB dari segitiga ABC dan AD, BE, dan CF kongruen terhadap titik O. Buktikan bahwa $\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=1$
Solusi:
Penampakan soal tersebut kurang lebih seperti ini:

Berdasarkan sifat segitiga yang tercantum jauh di atas, didapat:
$\frac{DO}{AD}= \frac{ODB}{ABD}= \frac{ODC}{ADC} = \frac{ODB+ODC}{ABD+ADC}= \frac{OBC}{ABC}$
Dengan proses serupa didapatkan pula
$\frac{OE}{BE} = \frac{OCA}{ABC}$ dan $\frac{OF}{CF}= \frac{OAB}{ABC}$
Dari ketiga persamaan tersebut, maka
bahwa $\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}= \frac{OBC}{ABC}+ \frac{OCA}{ABC}+ \frac{OAB}{ABC}= 1$
[OSP 2010] Diketahui segitiga $ABC$ dengan panjang sisi-sisinya adalah $a,b,c$ . Jika $(a+b+c)(a+b-c)=3ab$ , tentukan besar sudut yang mengahap sisi $c$ .
Solusi:
$(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2-c^2$ . Dengan rumus kosinus, $c^2=a^2+b^2-2abcosC$ , maka
$(a+b)^2-c^2=a^2+b^2+2ab-a^2-b^2+2abcosC=2ab+2abcosC$
Kembali ke soal maka $2ab+2abcosC=3ab$ , sehingga $2abcosC=ab$
Bagi kedua ruas dengan $2ab$ . didapat $cosC=\frac{1}{2}$ .Jadi besar sudut C adalah $60^o$

Koefisien Ekspansi

Berapakah koefisien $x$ pada ekspansi $(1+x)(1-2x)(1+3x)(1-4x)\cdot\cdot\cdot(1-2010x)$
Solusi:
$(1+x)(1-2x)(1+3x)(1-4x)\cdot\cdot\cdot(1-2010x)$
$(1-x-2x^2)(1+3x)(1-4x)\cdot\cdot\cdot(1-2010x)$
$(1+2x+...)(1-4x)\cdot\cdot\cdot(1-2010x)$
$(1-2x+...)(1+5x)\cdot\cdot\cdot(1-2010x)$
.
.
.
$1-1005x+...$
Jadi, koefisien $x$ adalah -1005

Aisyah Adibah

Tentang Adibah

Kamis, 09 Januari 2014

MATERI ANEH BIN AJAIB OSK

Chinese Remainder Theorem

Fermat’s Little Theorem

Euler Phi Function

Teorema Euler

Bukti Teorema Ceva

Koefisien Ekspansi